Пифагоровы числа

Музыка небесных сфер

В философской школе Пифагора пытались постичь тайны устройства мироздания, а поэтому вплотную занимались астрономией. Проведя много наблюдений и математический вычислений, пифагорейцы в конце концов пришли к выводу, что Земля круглая, а не плоская, и что она вовсе не является центром Вселенной. Более того, они не только знали о вращении планет, но и пытались вычислить их орбиты.

Пифагор утверждал, что в центре Вселенной находится огонь, и что она создана в соответствии с математическими законами. Он сделал много интересных открытий, которые на много веков опережали науку тех времен. Например, им было определено, что Венера является как утренней, так и вечерней звездой. Пифагорейцы нашли для каждой из планет числовое соответствие, а также придумали название в честь разных богов (Нептун, Юпитер и др).

По мнению Пифагора, принципы устройства Вселенной полностью совпадают с основными музыкальными правилами. Ему приписывают выражение: «Астрономия и музыка — родные сестры». Он также считал, что Вселенная наполнена прекрасной, гармоничной мелодией. Люди, знавшие великого философа, утверждали, что он умел слышать и воспринимать музыку небесных сфер. И именно это помогло ему правильно рассчитать орбиты, по которым двигаются планеты.

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S₂. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами

Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х2. Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с2– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х2 – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к

в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами

Примитивный Пифагор четверка ( , Ь , с , д ) параметризованного по ( т , п , р , д ) соответствует первому столбцу в Е ( & alpha ; ) из & alpha ; (⋅) & alpha ; по кватерниону Гурвицы α = m + ni + pj + qk, подпространством, натянутым на i , j , k , которое задается формулой
ЧАС{\ Displaystyle \ mathbb {H}}

E(α)знак равно(м2+п2-п2-q22пп-2мq2мп+2пq2мq+2ппм2-п2+п2-q22пq-2мп2пq-2мп2мп+2пqм2-п2-п2+q2),{\ displaystyle E (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} m ^ {2} + n ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} & 2np-2mq & 2mp + 2nq \\ 2mq + 2np & m ^ { 2} -n ^ {2} + p ^ {2} -q ^ {2} & 2pq-2mn \\ 2nq-2mp & 2mn + 2pq & m ^ {2} -n ^ {2} -p ^ {2} + q ^ { 2} \\\ конец {pmatrix}},}

где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет d . Кроме того, у нас есть1dE ( α ) ∈ SO (3,Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}} · ) , и фактически все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами возникают таким образом.

Последние новости

03.03.2017

Вышла 3-я версия сайта!

Многие месяца работы, исправление ошибок, новый контент, улучшение мобильной версии и снижение скорости загрузки — мы надеемся, что все это удалось достичь. Ждем ваших отзывов!

Еще новости

21.01.2017

Новая редакция квадрата Пифагора

Поправили много ошибок в текстах по квадрату Пифагора, обновили формулировки и заполнили ряд пробелов. Возможно, кто-то откроет для себя новое или уточнит ранее не понятые вещи.

07.06.2016

Готовим обновления по знакам Зодиака

Многие могли заметить, что в прошедшие дни сайт иногда был кратковременно недоступен. Это связано с большими обновлениями в технической части — мы готовимся завершить раздел совместимости знаков Зодиака и улучшить кое-что в самом расчете совместимости. Надеемся завершить все до конца месяца.

23.02.2014

Установлены периоды дат для знаков Зодиака

Даты знаков Зодиака были приведены к формату классической западной астрологии. Спорными знаками оказываются: Телец-Овен, Дева-Весы и другие.

Индивидуальные доказательства

1. ↑ В этой статье 0 не является натуральным числом.∉N,{\ displaystyle 0 \ notin \ mathbb {N},}
2. Жорж Ифра: Всеобщая история вычислений. От предыстории до изобретения компьютера . С.151 .
3. Коринна Росси: математика и архитектура в Древнем Египте. Cambridge UP 2003, стр. 217. Она цитирует Ричарда Паркера: Демотические математические папирусы. Brown University Press, 1972, стр. 3-4, 35-40.
4. Росси, loc. cit., стр. 219. Пирамида Хефрена с углом наклона около 53 °, следовательно, будет рассматриваться для использования (3, 4, 5), красная пирамида с углом наклона около 43 ° для (20 , 21, 29).
5. Хельмут Герике : математика в древности, на Востоке и на Западе . Matrix-Verlag, Висбаден 2005, ISBN 3-937715-71-1 , стр.68 .
6. Дэвид Джойс:
7. Диксон: История теории чисел. Том 2, Институт Карнеги, 1920 г., стр. 166.
8. Харальд Шайд: Теория чисел . 3-е издание. Издательство Spectrum Academic, Гейдельберг и др. 2003, ISBN 3-8274-1365-6 , стр.225 .
9. Андре Вейль: теория чисел. Исторический подход от Хаммурапи до Лежандра. Birkhäuser 1984, стр. 8. В качестве альтернативы он приводит формулу , согласно которой вавилоняне, согласно их системе счисления, основанной на 60, брали бы только произведения 2, 3, 5 и были бы результатом систематических проб и ошибок.а2знак равно(б-c)(б+c){\ Displaystyle а ^ {2} = (bc) (b + c)}а{\ displaystyle a}б{\ displaystyle b}c{\ displaystyle c}
10. Б. Берггрен: Pytagoreiska trianglar. Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (на шведском языке) 17 (1934), стр. 129-139.
11. А. Холл: Генеалогия пифагорейских триад. Math. Gazette 54: 377-379 (1970).
12. OEIS: A058529 .
13. Последняя формула уже упоминается Пифагором (около 570–510 гг. До н.э.); см. Харальд Шайд: Теория чисел . 3-е издание. Издательство Spectrum Academic, Гейдельберг и др. 2003, ISBN 3-8274-1365-6 , стр.225 .
14. последовательность A267651 в OEIS

Апории Зенона и их философское значение (продолжение вопроса 9).

Мелисс основывал свой аргумент на постулате, что ничто не может возникнуть из ничего. Он утверждал, что существо не может существовать, а существует вечно и не может быть уничтожено, потому что существо не может не существовать. Если сущность бесконечна во времени, то она также бесконечна в пространстве.

Эту школу также представлял его ученик. Зенон сформулировал ряд апорий («неразрешимых предложений»). В современном языке он показал, что в них совпадают два процесса: само физическое движение и появление в нашем сознании последовательности его отдельных фрагментов, что приводит к логическим противоречиям. Из 45 апорий, установленных Зеноном, девять спустились к нам. Пять из них — классические апории, в которых Зенон анализирует идеи множественности и движения.

Зенон разработал метод опровержения оппонента, разоблачая противоречия в своих суждениях. Оригинальность этого метода состояла в том, что Зенон , условно приняв опровергаемый тезис, вывел из него два взаимоисключающих последствия, делая этот тезис самопротиворечивым, логически противоречивым и теоретически неразрешимым.

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Читайте дополнительные лекции:

1. Причинные и функциональные связи в историческом процессе
2. Новейший позитивизм
3. Алфред Джулс Фйер, английский философ-неопозитивист
4. Философия русского космизма
5. Необходимость и случайность, возможность и действительность в историческом процессе
6. Научное и обыденное сознание
7. Проблемы философии
8. Либертарно-юридический тип правопонимания и философии права
9. Галилей — основатель современного естествознания — Происхождение, детство и юность Галилео Галилея
10. Взаимосвязь культуры и экономики

Уравнение Ферма

Обобщение троек Пифагора получается заменой показателя степени 2 натуральным числом . Итак, мы исследуем диофантово уравнениеп{\ displaystyle n}

Иксп+yпзнак равноzп(2<п∈N){\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n} \ qquad (2 <n \ in \ mathbb {N})}

и ищет решения через целые числа , исключая тривиальные решения, в которых одно из трех чисел равно нулю, или через натуральные числа.
Икс,y,z{\ displaystyle x, y, z}

Примерно в 1637 году Пьер де Ферма утверждал, что таких троек не бывает. Хотя он не дал никаких доказательств, эта гипотеза известна как Великая теорема Ферма . На протяжении веков никаких доказательств найти не удалось. Его поиски привели к множеству интересных открытий, особенно в теории чисел . Только в 1995 году математик Эндрю Уайлс смог наконец доказать теорему Ферма.

У Ферма были доказательства этого случая, и он имел дело с тесно связанным случаем треугольника Герона, площадь которого представляет собой квадрат (см. Бесконечный спуск ). Эта проблема восходит к Диофанту.
пзнак равно4-й{\ displaystyle n = 4}

Пифагоровы числа

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 13). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.

Рис. 13. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, — прямоугольный, так как

32 + 42 = 52.

Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению

а2 + b2 = с2.

Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».

Ясно, что если а, b, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рb, рс, где р — целочисленный множитель, — пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а, b, с один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и b четны, то четным будет число a2 + b2, a значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, b, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а, b нечетен.

Остается еще одна возможность: оба «катета» нечетные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид

2х + 1 и 2у + 1,

то сумма их квадратов равна

4х2 + 4х + 1 + 4у2 + 4у + 1 = 4(х2 + х + у2 + у) + 2,

т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа — не пифагоровы.

Итак, из «катетов» а, b один четный, а другой нечетный. Поэтому число а2 + b2 нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» с.

Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а четным b. Из равенства

а2 + b2 = с2

мы легко получаем:

а2 = с2 - b2 = (с + b)(с - b).

Множители с + b и с — b, стоящие в правой части, взаимно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма

(с + b) + (с - b) = 2с,

и разность

(с + b) - (с - b) = 2b,

и произведение

(с + b)(с - b) = а2, 

т. е. числа 2с, 2b и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют числа а, b, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие показывает, что числа с + b и с — b взаимно просты.

Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадратом, т. е.

Решив эту систему, найдем:

c = (m2 + n2)/2, b = (m2 - n2)/2,

 а2 = (с + b)(с - b) = m2n2, а = mn. 

Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид

a = mn, b = (m2 - n2)/2, с = (m2 + n2)/2.

где m и n — некоторые взаимно простые нечетные числа. Читатель легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных тип написанные формулы дают три пифагоровых числа а, b, с.

Вот несколько троек пифагоровых чисел, получаемых при различных тип:

при m =  3, n = 1   32 +  42 =  52
при m =  5, n = 1   52 + 122 = 132
при m =  7, n = 1   72 + 242 = 252
при m =  9, n = 1   92 + 402 = 412
при m = 11, n = 1  112 + 602 = 612
при m = 13, n = 1  132 + 842 = 852
при m =  5, n = 3  152 +  82 = 172
при m =  7, n = 3  212 + 202 = 292
при m = 11, n = 3  332 + 562 = 652
при m = 13, n = 3  392 + 802 = 892
при m =  7, n = 5  352 + 122 = 372
при m =  9, n = 5  452 + 282 = 532
при m = 11, n = 5  552 + 482 = 732
при m = 13, n = 5  652 + 722 = 972
при m =  9, n = 7  632 + 162 = 652
при m = 11, n = 7  772 + 362 = 852

(Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, большие ста.)

Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств:

1. Один из «катетов» должен быть кратным трем.
2. Один из «катетов» должен быть кратным четырем.
3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Читатель может удостовериться в наличии этих свойств, просматривая приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел.

Биография Пифагора Самосского

Пифагор Самосский большинству людей известен как выдающийся математик древности, создатель таблицы умножения, знакомой всем нам с детства. Но он был еще и величайшим мистиком, создателем религиозно-философской школы. У него было немало последователей, благодаря которым его идеи обрели большую известность во всем мире.

Родился Пифагор примерно в 580 году до нашей эры в семье ювелира Мнесарха, на острове острове Самосе, расположенном в районе побережья Малой Азии. В 18 лет будущий философ оставил отчий дом и отправился путешествовать по странам ближнего востока. Много лет он провел в Египте, где ему удалось приобщиться к тайным знаниям, которыми обладали египетские жрецы.

В родной город Самос Пифагор вернулся не скоро — когда ему исполнилось 56 лет. Но пробыл он на родине недолго, а предпочел перебраться жить в Италию, где в 535 году до нашей эры основал свое первое научно-философское сообщество. Чуть позже подобные организации, стараниями последователей Пифагора, возникли и в других частях страны.

Пифагор и его приверженцы занимались не только математикой и философией — они также принимали участие в политической жизни Италии, и даже на какое-то время установили во многих ее городах свое правление. Но противников и недоброжелателей у великого философа тоже было немало. В результате мятежа, организованного антипифагорейцами, погибло много сторонников Пифагора. А сам он, по разным версиям, тоже был убит или уехал в город Метапонт, в котором прожил до конца своих дней.

Учение Пифагора о душе и переселении душ

Великий Пифагор утверждал, что бессмертная душа вполне может быть описана при помощи математический формул и уравнений. По его утверждению, она является идеальным кубом, ее стороны соответствуют Шестерке, а ее число — 216. Пифагор и его последователь Филолай говорили, что душа — это гармония, для образования которой могло бы понадобиться ровно 216 дней.

Главное свойство души — бессмертие. Она не умирает вместе с телом, а уходит в Аид, где находится 216 лет. После этого она вновь возвращается на землю, и вселяется в тело, соответствующее достигнутому ею уровню развития. Чем больше благих дел совершил человек в прошлых воплощениях, тем благоприятнее окажутся условия его существования в этой жизни.

Причем, по мнению Пифагора и его последователей, бессметной душой обладают не только люди, но также растения, минералы, животные. То есть, все души проходят эволюционный путь развития, на протяжении которого приобретают полезный опыт и совершенствуются. Пройдя определенный круг воплощений, душа становится идеальной и вновь возвращается к своему первоисточнику — то есть к Богу.

Люди, близко знавшие Пифагора, утверждали, что он помнил свои прошлые воплощения. Великий математик также мог сообщить человеку, кем тот был в прошлых жизнях. Как сам философ, так и его последователи, стремились очистить свои души от скверны, а поэтому вели аскетический образ жизни.

Примеры

• (3,4-й,5){\ displaystyle (3,4,5)}это самая маленькая и самая известная тройка Пифагора. Это примитивно, потому что три натуральных числа имеют только 1 в качестве делителя. При использовании шнура с двенадцатью узлами прямоугольный треугольник может быть растянут с пропорциями 3: 4: 5 для длин сторон и, таким образом, может быть представлен прямой угол .
• (5,12-е,13-е){\ Displaystyle (5,12,13)}и являются примерами других малых примитивных троек Пифагора.(8-е,15-е,17-е){\ displaystyle (8,15,17)}
• Примеры непримитивных пифагоровых троек — с общим фактором или с общим фактором .(15-е,20-е,25-е){\ displaystyle (15,20,25)}5{\ displaystyle 5}(15-е,36,39){\ displaystyle (15,36,39)}3{\ displaystyle 3}

Как Пифагор рассчитывал способности человека

Квадрат Пифагора был добавлен на сайт In-contri по многочисленным просьбам пользователей нашего расчета совместимости, в котором в третьем разделе участвуют сравнения параметров двух партнеров из их психоматриц.

Несложно догадаться, что автором этого квадрата является, пожалуй, самый известный ученый, философ и математик — Пифагор. Его теорема известна каждому из нас со школьной скамьи, описанная им музыкальная гармония знакома всем, кто учился музыке, а его учение о познании мира стало основой всех естественных наук.

«Познать мир — значит познать управляющие им числа» — так утверждал Пифагор.

Одной из сфер его широкой научной деятельности было познание души человека и качеств изначально заложенных в личность через персональный расчет по дате рождения. Впоследствии этот расчет — квадрат Пифагора (он же психоматрица или магический квадрат) — стал одним из самых известных в нумерологии. Его целью являлось выявить данные человеку качества при рождении, чтобы направить его на тот путь, где бы он мог максимально раскрыть свои таланты, при этом уменьшив воздействие слабых сторон или компенсировав их.

Рассмотрим порядок расчета на примере:

Возьмем дату рождения 12.03.1985 (12 марта 1985 года).

Делаем таблицу: первая строка — числа дня рождения в 8 ячеек, вторая строка — все рабочие числа тоже в 8 ячеек. Сразу замечание: если число дня рождения, месяца или рабочее число состоит из одной цифры, то оно все равно записывается в две ячейки, только первой будет ноль. В нашем случае это: 03 — март и 09 — 4 рабочее число.

Остается посчитать, сколько раз встречается каждая цифра в двух строках, и заполнить квадрат Пифагора. Расчет готов:

Уточнения:

● Если вы успели заметить, то для нашего времени цифр в расчете участвует 8 цифр: дата рождения 8 + 8 цифр из 4-х рабочих чисел — всего 16

● Если у человека день рождения или месяц рождения от 1 до 9, то записывается это в любом случае как две цифры, только первая будет 0 (а никак не пустой!)

● Многие онлайн расчеты грешат несоблюдением двух вышеназванных нюансов, поэтому вы можете встретить неправильные результаты