Как принять правильное решение

Что это такое в психологии и для чего нужно

Можно сказать, что квадрат Декарта это такой мини-дневник, в котором необходимо кратко изложить проблемы, которые видятся вам как результат вашей деятельности или бездействия.

Размышляя над каждым следствием, вы позволяете своему мозгу прекратить хаотичное перескакивание от одной мысли к другой, и не переживаете, что забудете суть случившегося озарения — если тут же его зафиксируете достойную внимания идею на бумаге.

В результате все, что вы планируете получить от сделанного шага или боитесь ощутить на собственной шкуре из-за него же, приобретает вид текста, с которым удобнее работать, чем с кучкой мыслей по волнующему вас поводу.

Квадрат Декарта — это схема с четырьмя вопросами, которые, если объективно ответить на них, в итоге должны упростить процесс выбора правильного решения в какой-то отдельной ситуации.

Техника не имеет отношения к каким-то паранормальным методикам: с ее помощью нельзя вызвать из подсознания человека какие-то скрытые мотивы, способные повлиять на выбор решения в мучающем вопросе.

Она просто помогает более глубоко взглянуть на текущую задачу и проанализировать больше, чем при простом обдумывании плюсов или минусов от предполагаемых шагов.

Возможно, что во многом этому способствует необходимость излагать мысли на бумаге, что упрощает работ по анализу.

Популяризаторы техники утверждают, что используя квадрат Декарта легче принимать безошибочные решения. Достаточно сравнить количество положительных и отрицательных ответов, чтобы таким образом определить, насколько велики шансы успеха или проигрыша в рассматриваемом деле.

Однако нужно понимать, что результат эксперимента находится в прямой зависимости от объективности ответов, данных на каждый из вопросов, используемых в системе, и глубины анализа возможных последствий от своих предполагаемых действий.

Плюс всегда нужно учитывать возможность влияния на конечный итог такого явления как непредвиденные обстоятельства.

Пример принятия решения

Как принять решение? Допустим, что вы в раздумьях по поводу смены места работы.

Естественно, даже если на этом месте вы трудились не очень продолжительное время, грядущие перемены могут вас тревожить.

Что уж говорить, если вы занимали место, с которого собираетесь уходить, много лет — вопросов в голове по поводу предстоящих перемен, размышлений на тему «а стоит ли что-то менять в способе добычи куска хлеба» очень много.

Вот эти все свои сомнения и предположения вам и нужно записать, разнеся по соответствующим рубрикам квадрата Декарта.

Увязывая тему (в данном случае смена работы) с вопросами в ячейках, вы можете составить приблизительно следующие отрицательные и положительные предположения относительно вашего бездействия или действий:

Если ожидаемое произойдет:

1. Вы начнете гордиться собой за проявленную смелость и можете ощутить необыкновенный прилив сил. Вернется или усилится вкус к жизни.
2. Придется заново выстраивать отношения с коллегами и руководством. Или, наконец, избавитесь от начальства и сослуживцев, если новое занятие будет собственным бизнесом.
3. Вырастет зарплата. Или станет строго пропорциональна прикладываемым усилиям: сколько сделаете, столько и получите.
4. Если перейдете в разряд самозанятых, то первое время выходные будут в дефиците. Но в дальнейшем, при правильной организации дела, сможете назначать себе каникулы когда необходимо, а не когда положено по общему графику.

Если ожидаемому не суждено случиться или вы не решитесь на активные действия:

1. Денежный поток останется на прежнем уровне. В этом есть и плюсы (уже знаете, насколько вам хватает «синицы в руках»). Но мечты о чем-то большем придется оставить в статусе «ожидаемое в неизвестном будущем».
2. Начнете мучиться из-за собственной нерешительности.
3. Новые впечатления, доходы, знакомства не предвидятся.
4. Придется трудится на старой ниве, превозмогая внутреннее напряжение из-за скуки, необходимости общаться в неприятным начальником или коллегами — если с последними на текущий момент находитесь в состоянии конфликта.
5. Выходные, отпуск — строго по графику в договоре о приеме на работу и в соответствии с имеющимися заслугами или проступками.

Что не произойдет при сбывшемся прогнозе или выполненном действии?

Это графа о недостатках исполненного желания или, другими словами, почему некоторые могут огорчиться из-за исполнения собственной мечты.

Это:

1. Достижения на новом поприще не появятся без усилий с вашей стороны.
2. Сразу много лишнего свободного времени тоже будет мало.
3. Чаще видеться с друзьями точно не придется, пока не будете обоснованно уверены, что можете себе это позволить.

Укрепления в семейных отношениях, если ранее были проблемы, ссоры и недопонимание. Партнер по браку какое-то время будет вам за психолога, «мамочку», соратника и «козла отпущения», наблюдающего ваши эмоциональные всплески из-за деятельности на новом месте. А с такой ролью, к сожалению, не все в состоянии справиться.
Ощущения защищенности, исходящего от вышестоящего руководства. Весь соцпакет и прочие плюшки будут зависеть целиком от вас, а вернее от правильности оформленного рабочего процесса и документации.

Что так и не произойдет, если планам не суждено сбыться?

1. Самооценка не улучшится. Мнение близких о вас — тоже, если вы держали их в курсе дел.
2. Вкус к жизни не вернется, если прежнее место работы вызывает отвращение.
3. Уровень доходов не выйдет на новый уровень.
4. Дорогостоящие приобретения останутся в планах или, что еще печальнее, в статусе несбыточной мечты.
5. Новый шанс попасть на такую же должность или воспользоваться текущей мировой ситуацией для быстрого подъема бизнеса и доходов от него.

Квадрат Декарта — не панацея для ищущих ответы на множество сложных вопросов.

Но он может стать для вас полезным и понятным инструментом, помогающим находить правильные тропинки для самых оптимальных решений.

Лучший метод принятия решений — Квадрат Декарта:

Наша интересная группа Вконтакте:

Как пользоваться техника

Чтобы использование квадрата Декарта принесло максимальную пользу, для рисования схемы и фиксации вопросов сразу используйте большой лист бумаги. Например, альбомный или для распечатки на ксероксе.

Конечно, если пишите вы аккуратно и мелким почерком, то подойдет и двойной листик из обычной школьной тетрадки. Не идите на поводу у мнения, что имеющегося под рукой клочка бумаги — вполне достаточно.

Помните: чем больше объективных вопросов и ответов вы составите, тем выше вероятность получения максимально жизнеспособного ответа в результате предстоящего теста.

Стремитесь отвечать на вопросы с учетом и отрицательных моментов, которые обязательно могут проявиться в случае исполнения или неисполнения желания, действия.

Ведь жизнь, и вы это знаете, состоит из хорошего и плохого, которые следуют друг за другом, как тень за движущимся объектом.

И чем больше минусов с плюсами вы сумеете предвидеть в связи с темой, ради которой заполняете квадрат Декарта, тем реалистичнее и правдивее вы сможете получить конечный результат.

По центру листа нарисуйте систему координат Декарта, но без делений на осях и стрелочек на конце лучей. Затем в каждой из четырех получившихся ячеек, запишите по одному вопросу. Суть их в следующем:

1. Что будет, случится или произойдет (по вашему мнению), если вы сделаете какой-то шаг или исполнится ваше предположение?
2. Каковы будут последствия, если то, что вы хотите сделать или прогнозируете, не случится?
3. Чего точно не произойдет в случае, когда ваши опасения или мечты оправдаются либо вы сделаете шаг, о котором раздумываете?
4. Без чего вы останетесь, если шаг не будет сделан или прогнозы окажутся ложными?

Отвечая на каждый вопрос, постарайтесь использовать следующее из него заключение в применении к максимально большему количеству сторон из вашей жизни.

Заполняя схему, придерживайтесь следующих рекомендаций:

1. Обязательно фиксируйте свои мысли в письменном виде, кратко и по сути.
2. На каждый пункт составьте не менее 5 ответов.
3. Если не можете сразу написать ответы по всем пунктам или не имеете достаточно времени на глубокие размышления по сути опросника, отложите работу. Появится «окно» — продолжите. Результативность теста от этого, скорее всего, только выиграет.

   Ведь вы будете мысленно к нему возвращаться на протяжении какого-то времени и, возможно, сможете увидеть желанную цель даже с нескольких ракурсов.

4. Будьте объективны и честны с самим собой. Не пытайтесь своими же ответами подтасовывать результаты, если намерены получить реалистичный ответ на волнующие вас вопросы.

Немного истории о квадрате Декарта и его основателе

Французский ученый 17-го века Рене Декарт был известен в самых разных областях: от физики и математики — до психологии. Свою первую книгу ученый написал в 38 лет — но, опасаясь за свою жизнь на фоне волнений, связанных с Галилео Галилеем, не посмел опубликовать все свои произведения при жизни.

Рене Декарт

Будучи человеком разносторонне развитым, он и создал метод решения проблемы выбора, явив миру Квадрат Декарта.

Сегодня, при выборе терапии, данный метод широко применяется даже в нейролингвистическом программировании, способствуя раскрытию потенциала человека, заложенного природой.

Благодаря технике Декарта, можно узнать о своих скрытых талантах, желаниях и устремлениях.

Декарт о назначении философии

Декарт считал, что познание не должно сводиться к отысканию и беспорядочному накоплению отдельных знаний. Будучи выдающимся ученым и философом, Декарт осознавал единство познания, то есть единство всех наук и философии. Он писал о том, «что надо поверить в то, что все науки связаны между собой настолько, что гораздо легче изучать их все сразу… все они связаны между собой и друг от друга зависимы…», и понимание этого единства научного знания, разработку единого метода познания Декарт рассматривал как основную задачу философии.

Отдавая должное существовавшей до него философии, почитая выдающихся философов прошлого, Декарт не мог смириться с тем, что в философии по одной и той же проблеме существует множество мнений. Отождествляя философию во многих отношениях с наукой, Декарт стремился к такому соотношению философских идей и позиций, которое характеризует прежде всего математическое знание. Он рассуждал: «О философии скажу одно: видя, что в течение многих веков она разрабатывается превосходнейшими умами и, несмотря на это, в ней доныне нет положения, которое не служило бы предметом споров и, следовательно, не было бы сомнительным, я не нашел в себе такой самонадеянности, чтобы рассчитывать на больший успех, чем другие». И при этом, подчеркивал Декарт, другие науки заимствуют свои принципы из философии. Декарт поставил перед собой грандиозную задачу преодоления подобной неопределенности философского знания, поднятия философских идей на пьедестал полной достоверности. На первом месте перед ним стала задача создания философского метода познания, обеспечивающего, как он полагал, достижение истины.

Руководствующаяся этим методом философия станет востребованной жизнью: «…вместо умозрительной философии, преподаваемой в школах, можно создать практическую, с помощью которой, зная силу и действие огня, воды, воздуха, звезд, небес и всех прочих окружающих тел» люди могли бы изобрести способы, позволяющие наслаждаться благами природы для, главным образом, «сохранения здоровья, которое, без сомнения, есть первое благо и основание всех других благ этой жизни».

Картина мира по Декарту

На основе своего метода Декарт создает картину мира, согласно которой существует мир, существует Бог, в мире существует человек, способный познавать этот мир, поскольку наделен способностью сомнения и интеллектуальной интуицией и обладает врожденными, благодаря Богу, идеями.

Природа построена Богом из материи, обладающей протяженностью и способностью к вечному движению как перемещению в пространстве. Сотворенный мир существует по своим собственным законам. Эта позиция философа носит название деизма.

Материя рассматривается Декартом как субстанция. Однако он признает существование и другой, духовной субстанции, носителем которой является человек, его душа. Высшим проявлением в человеке духовной субстанции служит мышление. «Я мыслю, следовательно, я существую» – первый принцип его философии. Две субстанции (материальная и духовная) в философии Декарта равноправны, каждая самостоятельна. Вопрос о том, каким образом объяснить их взаимодействие был для Декарта одним из сложнейших. Эта позиция Декарта носит название дуализма.

Квадрат по методу Декарта, или Как принять решение

Как-то раз я всю неделю была сама не своя. Плохо спала, мысли путались, ни на что не было сил. Меня мучил один-единственный вопрос «Уйти с работы или остаться?»

Не найдя ответа, я вспомнила отличный способ для решения моей дилеммы. Устроилась в тихом месте, чтоб никто не беспокоил, взяла лист бумаги, ручку и ответила еа четыре вопроса.

Я написала, что произойдет, если я уйду или останусь, и чего не произойдет. Отвечая на каждый из вопросов, я старалась распознать свои эмоции, проанализировать реакции тела

Теперь у меня был действенный инструмент, помогающий принять важное решение!. Раньше у меня такого инструмента.не было Каждый раз приходилось сталкиваться с собственным бессилием и нежеланием что-либо выбирать

Мне казалось, что все решится как-то само собой. Ситуация изменится, и мне не придется делать выбор. Или кто-то сделает его за меня, а скажу этому кому-то «спасибо» или буду на него тихо обижаться

Раньше у меня такого инструмента.не было Каждый раз приходилось сталкиваться с собственным бессилием и нежеланием что-либо выбирать. Мне казалось, что все решится как-то само собой. Ситуация изменится, и мне не придется делать выбор. Или кто-то сделает его за меня, а скажу этому кому-то «спасибо» или буду на него тихо обижаться.

Кроме того, мне плохо удавалось чувствовать свой дискомфорт. Я всегда могла найти оправдание: почему нужно еще потерпеть, подождать, побыть.

Пытаясь пережить разрыв отношений, я познакомилась с психотерапией. Помимо решения конкретных вопросов терапия помогает сделать жизнь более осознанной, что и произошло со мной. Я острее стала чувствовать дискомфорт и понимать, что я хочу жить по-другому.

Я обратила внимание на свою работу, которой часто отдавала всю себя. Наконец-то поняла, что слезы в конце рабочего дня и в выходные дома, чувство бессилия и опустошенности, сердцебиения и боли в спине — это ненормально

И это понимание было только началом пути.

Вопрос об уходе я обдумывала около года. Я прислушивалась к мнениям родителей, друзей, коллег по работе. Мое настроение очень зависело от того, какое мнение других людей я услышала накануне.

Я не делала главного — не слушала себя!

Изменилось все только тогда, когда я все взяла в свои руки. Я отказалась от любых контактов на неделю. Ушла в себя, выключила ненужный шум и попробовала прислушаться к себе. Мне было очень сложно, ведь этот способ был для меня абсолютно новым. Первый день я просто рыдала. Позже, когда страх стал уходить, появились силы и вспомнились некоторые методики.

Первая, самая важная методика — квадрат Декарта или четыре вопроса себе.

– Что произойдет, если это случится? – Что произойдет, если это не случится? – Чего не произойдет, если это случится? – Чего не произойдет, если это не случится?

Важно не просто писать ответы на эти четыре вопроса, но и сканировать свои чувства, отвечая на каждый вопрос. В случае «Ухожу» я чувствовала огромную радость, когда писала что произойдет

И небольшой страх, когда писала, что не произойдет

В случае «Ухожу» я чувствовала огромную радость, когда писала что произойдет. И небольшой страх, когда писала, что не произойдет.

В случае «Остаюсь», отвечая на оба вопроса, я чувствовала уныние, скуку, разочарование.

Вторая методика нужна, если остались какие-то сомнения. Обозначу ее как прислушивание к реакциям своего тела. Так я старалась понять, что происходит с моим телом, если я погружаюсь в состояния «Ухожу» и «Остаюсь». В моем случае в состоянии «Остаюсь» я ощущала накатывающуюся рвоту и боль в спине.

В позиции «Ухожу» я ощущала легкость во всем теле, а рвотный рефлекс и боль в спине проходили. После использования обеих техник вывод был сделан незамедлительно, и он был однозначным.

Приняв решение, я кое-что поняла о себе

1. Управление своей жизнью приносит огромное удовольствие, ведь ключ зажигания у меня.

2. Ответственность за свои решения (понимание последствий выбора) делает меня более уверенной и сильной.

3. У меня свой, уникальный способ принятия важных решений: я сначала плачУ, потом прислушиваюсь к эмоциям и реакциям тела. И это мой способ, он мне подходит. Незачем его обесценивать.

Во второй раз я воспользовалась этими методиками, когда искала ответ на вопрос: получать или нет второе высшее образование? Снова слезы, снова прислушивание. Результат — я в восторге от учебы и вижу, как новые знания могут помочь мне в будущей работе и в жизни.

Мне все еще тяжело принимать важные решения. Но теперь я знаю свой механизм, позволяющий мне, а не случаю или другим людям, выбирать что-либо для меня.

Саморазвитие #Психология #Самоисследование 

Немного истории

Системе, облегчающей принятие верного решения, присвоена фамилия французского ученого (1596-1650), активно и углубленно изучавшего закономерности и следствия в области математики, физики, философии, механики и ряда прочих наук.

Его математические труды с интересом изучал Ферма, а некоторые коллеги и современники этих двух великих ученых даже не в силах были полностью оценить глубину математических выкладок Декарта.

Естественно, система, основывающаяся на применении квадрата Декарта, как основного инструмента для принятия решений, не является непосредственным «детищем» ученого, фамилию которого носит.

Но разработана она в том числе и с учетом его трудов, рассуждений на тему, как принимать верные решения и снизить риски неудач.

НЛП для начинающих – 13. Как принимать решения Декартовы координаты

Александр Любимов

Иногда нужно принять решение типа «делать – не делать». Например: покупать машину или не покупать, жениться или нет, менять работу или не менять и так далее.

И часто получается «зависание»: сложно оценить выгоды и потери от каждого действия. В НЛП для облегчения выбора есть небольшая техника «Декартовы координаты».

Итак, вы хотите сделать выбор, например «покупать или не покупать автомобиль». Представьте себе квадрат разделённый на четыре части. По одной оси будет «получу – потеряю», по другой «сделаю – не сделаю». Как на картинке.

А дальше вам просто нужно будет записать в каждой соответствующей области приобретения и потери.
– Что я получу, если сделаю?
– Что я потеряю, если сделаю?
– Что я получу, если не сделаю?
– Что я потеряю, если не сделаю?
Например, для покупки автомобиля это может выглядеть так:

Обычно после этого шага уже достаточно понятно, стоит делать или нет. Но если ещё есть трудности можно «взвесить» результаты. На одну руку мысленно кладёте «что вы получу, если сделаю» и «что потеряю, если не сделаю», на другую – «что получу, если не сделаю» и «что потеряю, если сделаю» (складываете области по диагонали). Что перевешивает – ваш выбор.

Ещё вариант – можно добавить к каждому пункту уровень важности (вес), например от 0 до 10. Приобретения идут в плюс, потери в минус

Потом просто смотрим результат. За: 7+4+8+9+4+10-9-4-6-6=17. Против: 5+4+8+9-10-6-9=1. 17-1=16. 16 баллов в плюс за покупку. Такой вполне дигитальный, но наглядный вариант получается.

Тренинг:: Успешное Мышление

Это интересно

Использование техники принятия решений «Квадрат Декарта» не решает за вас, она лишь помогает сделать выбор. В процессе ее использования, возможно, посетит озарение, и вы будете точно знать, как разрешить ту или иную проблему.

Регулярное использование данной методики позволяет структурировать сознание и сделать мыслительную деятельность более упорядоченной и логичной. Также хорошо, если вы будете сохранять ранее разработанные вами «Квадраты Декарта», чтобы наглядно смогли увидеть правильность принятых решений относительно разных проблем. Со временем логический подход в разрешении трудностей входит в привычку, и индивидууму легче становится быстро отвечать на поставленные вопросы.

При использовании методики необходимо учитывать следующие особенности:

заполнять клетки в «квадрате Декарта» нужно только письменно

Таким образом, вы словно переносите свои мысли на бумагу, и можете их проанализировать. В литературе данная методика фиксирования мыслей, приходящих в голову, называется «поток сознания». Можно просто обозначить волнующий вас вопрос, а затем записывать все подряд, что приходит в голову касаемо этой темы.

при необходимости заполняйте таблицу коллективно

Если принятие решения относительно какого-либо вопроса требует коллективного участия, то заполнять «квадрат Декарта» нужно совместно. Например, вы желаете поехать отдыхать на Бали всей семьей, сделать это непросто и необходим общий совет со всеми членами семьи. Нарисуйте таблицу, пусть каждый пункт заполняется всеми индивидуально, а затем сравните результаты. Потом можно сделать балльную оценку всех критериев полученных в квадрате, и принять объективное решение, учитывая мнение всех участников.

тщательно продумайте последний раздел таблицы, где используется двойное отрицание

Он вызывает наибольшие трудности при заполнении, потому что наш мозг с трудом воспринимает двойное отрицание.

плюсы от принятого решения должны перевешивать минусы

Если в результате использования данной методики получилось так, что решение, которое желаете принять, набрало больше минусов, чем плюсов, то рациональнее от него отказаться.

старайтесь чаще использовать эту методику

Это поможет быстрее принимать решения, появится уверенность в своих действиях и разовьется аналитическое мышление.

«Квадрат Декарта» является интересной методикой помогающей принять важные жизненные решения. Она представляет собой таблицу, содержащую в себе различные варианты развития событий, которые позволяют наиболее полно оценить дальнейшее  развитие ситуации в случае принятия того или иного решения. Обязательным условием является заполнение таблицы вручную.

Примеры решений по технике квадрата Декарта

Давайте я приведу пример, чтобы лучше показать, как работает техника «квадрат решений Декарта».

Допустим, наша ситуация – создавать ли собственный бизнес. Соответственно, мы выбираем между двух альтернатив: да и нет. Однако если мы будем расписывать их плюсы и минусы, мы можем упустить некоторые важные моменты. А техника квадрата Декарта как нельзя лучше подходит для принятия решений такого рода.

Итак.

Берем ручку и листок бумаги, и начинаем писать ответы на вопросы.

1. Что случится, если я открою свое дело?

Я смогу работать на себя, у меня не будет глупых начальников.

Можно будет идти в отпуск, когда захочу.

Больше не буду ни от кого зависеть.

Смогу самостоятельно планировать график работы.

Исчезнет финансовый потолок.

2. Что случится, если я не открою свое дело?

Будет стабильная зарплата.

Не придется идти на риск.

Буду знать, как сложится завтрашний день.

Избегу серьезной ответственности.

3. Что не случится, если я открою свое дело?

Придется самому решать все проблемы.

Нужны вложения, первое время придется экономить на всем.

Не смогу отмечать праздники с любимым коллективом.

4. Что не случится, если я не открою свое дело?

Я не смогу выйти из подчинения руководству.

Я никогда не заработаю больше определенной суммы денег.

Моя жизнь не будет ничем выделяться

Потом может быть уже поздно.

На самом деле, в этих вопросах легко запутаться. Особенно, когда дело доходит до четвертого пункта. Не стоит путать его с первым. В четвертом вопросе нужно написать те минусы, которые проявятся в жизни, если вы откажетесь от решения открыть свое дело (в данном примере). Пишите так много пунктов, как захочется.

Таким образом, вы перечислили за и против для каждого варианта. Но что, если вы все равно не можете принять решение, просто глядя на свои аргументы? В таком случае необходимо сделать следующее.

Каждому пункту во всех четырех квадратах нужно присвоить балл, соответствующий его значимости (к примеру, 1 — не значимый, 5 – очень значимый). После чего, вы суммируете количество баллов для каждого из квадратов. Завершающий этап — рассмотрим левую сторону схемы. Из суммы баллов верхнего квадрата вычитаем сумму баллов нижнего квадрата (плюсы принятия решения минус недостатки его принятия). То же самое проделываем для правого верхнего и правого нижнего квадрата (плюсы НЕпринятия решения минус недостатки НЕпринятия решения). Смотрим, что у нас получилось.

В нашем случае баллы, полученные в результате принятия решения больше, чем баллы, полученные в итоге его непринятия. Т.е. очевидно, что в этом примере человеку выгодней открыть свое дело, чем остаться наемным рабочим. Если разница между двумя суммами невелика, стоит еще раз пересмотреть свои аргументы и принять то решение, к которому вас больше тянет. Если же все указывает на то, что решение лучше не принимать, а вам все-таки хочется поступить по-другому, задумайтесь – а что на самом деле вами движет, и почему победила другая сторона квадрата? Техника квадрата Декарта – сугобо логическая, однако если у вас сильно развита интуиция, не стоит исключать и ее.

Кроме финансовых вопросов, техника квадрата Декарта подходит и для принятия решений в личной жизни.

Она поможет ответить на вопросы: выходить ли замуж за этого человека, разводиться или сохранить семью.

Я рекомендую принимать решении по технике квадрата Декарта в том случае, если вы и правда не можете долго разобраться, как вам лучше поступить. В остальных же случаях, можно обойтись и более простыми методам или просто прислушаться к себе. Когда вопрос касается не только вас, а, к примеру, всей семьи, вы можете все вместе принять участие в ответе на вопросы.

С любовью,

Полина.

Свойства операции нахождения декартова произведения

1. Так
   как декартовы произведения А
   и ВА
   состоят из различных элементов, то
   операция нахождения декартова
   произведения множеств свойством
   коммутативности не обладает.

2. Аналогично
   рассуждая, можно доказать, что для этой
   операции не выполняется и свойство
   ассоциативности.

3. Но
   она дистрибутивна относительно
   объединения и вычитания множеств, т.е.
   для любых множеств А, В и С выполняются
   равенства:

  С



С



С,

\ 

С 


С
\ 

С.

Пример

Проверьте
справедливость свойства дистрибутивности
декартова произведения относительно
объединения, если: А = 3;
4; 5,
В = 5;
7,
С = 7;
8.

Решение.
Найдем объединение множеств А и В: 
= 3;
4; 5;7.
Далее перечислим элементы множества


С, используя определение декартова
произведения: 

С = (3;
7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Чтобы
найти элементы множества 

С



С,
перечислим сначала элементы множеств
А 
С и В 
С:

А

С = (3;
7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)

В

С = (5;
7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Найдем
объединение полученных декартовых
произведений:

  С



С
= (3;
7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Видим,
что множества 

С и 

С



С
состоят из одних и тех же элементов,
следовательно, для данных множеств А,
В и С справедливо равенство 

С 


С



С.

Выясним
теперь, как можнонаглядно
представить декартово произведение
множеств.

Если
множества А
и В
конечны и содержат небольшое число
элементов, то можно изобразить декартово
произведение этих множеств при помощи
таблицы
или
графа.

Пример

Декартово
произведение множеств А =1;
2; 3
и В = 3;
5
можно представить так, как показано на
рисунке 1 и 2

	3	5
1	(1,3)	(1,5)
2	(2,3)	(2,3)
3	(3,3)	(3,3)

Рис.
1

Декартово
произведение двух числовых множеств
(конечных и бесконечных) можно изображать
на координатной плоскости, так как
каждая пара чисел может быть единственным
образом изображена точкой на этой
плоскости.

Способ
наглядного представления декартова
произведения двух числовых множеств
удобно использовать в случае, когда
хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите
на координатной плоскости декартово
произведение 

В, если:

а)
А = 1;
2; 3
и В = 3;
5;

б)
А = 1;
3,
В = 3;
5;

в)
А = R,
В = 3;
5;

г)
А = R,
В = R.

Решение

а)
Так как множество А состоит из трех
элементов, а множество В содержит все
действительные числа о т 3 до 5, включая
и сами эти числа, то декартово произведение


В будет состоять из бесконечного
множества пар, первая компонента которых
либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое
действительное число из промежутка 3;
5.
Такое множество пар действительных
чисел на координатной плоскости
изобразится тремя отрезками.

у

5

3

1
2 3 х

б)
В этом случае бесконечны оба множества
А и В. Поэтому первой координатой может
быть любое число из промежутка 1;
3,
и, следовательно, точки, изображающие
элементы декартова произведения данных
множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы
подчеркнуть, что элементы декартова
произведения изображаются и точками,
лежащими внутри квадрата, этот квадрат
можно заштриховать.

у

5

3

1
2 х

в)
Этот случай отличается от предыдущих
тем, что множество А состоит из всех
действительных чисел, т.е. абсцисса
точек, изображающих элементы множества


В, принимает все действительные значения,
в то время как ордината выбирается из
промежутка 3;
5.
Множество таких точек образует полосу.

y

5

3

х

г)
Декартово произведение RR
состоит из всевозможных действительных
чисел. Точки, изображающие эти пары,
сплошь заполняют координатную плоскость.
Таким образом, декартово произведение
RR
содержит столько же элементов, сколько
точек находится на координатной
плоскости.